Question

設三次函數h(x)=px³+qx²+rx+s滿足下列條件:h(1)=1,h(-1)= -1,在區間（-1，1）上分別取得極大值1和極小值-1，對應的極點分別為a，b。

(1)證明：a+b=0

(2)求h（x）的表達式

(3)已知三次函數f(x)=ax³+bx²+cx+d在（-1，1）上滿足-1<f(x)<1。證明當|x|>1時，有|f(x)|<|h(x)|

Answer 1

（1）見解析（2）h(x)=4x³-3x（3）見解析

解析:

（1）解：由f(1)=1,f(-1)=-1得q+s=0,r+p=1

h(x)=px³-sx²+(1-p)x+s

h’(x)=3px²-2sx+1-p

因為（-1，1）內有兩極值且f(1)=1,所以有p>0

=0(*)

又由韋達定理得，即代入(*)中得

因為p>0,a+b??（-2，2）,所以

所以有

（2）解：由得s=0，q=0

所以h(x)=px³+(1-p)x，又

消去p得所以有

所以有h(x)=4x³-3x

（3）解：因為|x|<1時|f(x)|<1,所以有|f(1)|??1,|f(-1)|??1

令F(x)=h(x)+f(x)，G(x)=h(x)-f(x)

則有F(1)=1+f(1)??0,F()=-1+f()<0,F()=1+f(-)>0,F(-1)=-1+f(-1)??0

所以有F（x）在(-1,1)內有極大值和極小值，當x>1時，F(x)>0,當x<-1時，F(x)<0

同理有：G(1)=1-f(1)??0,  G()=-1-f()<0,  G()=1-f(-)>0,

G(-1)=-1-f(-1)??0

所以有G（x）在(-1,1)內有極大值和極小值，當x>1時，G(x)>0,當x<-1時，G(x)<0

所以當|x|>1時，有F(x)G(x)>0即h²(x)>f²(x)即|h(x)|>|f(x)