Question

設(shè)三次函數(shù)h（x）=px³+qx²+rx+s滿足下列條件：h（1）=1，h（-1）=-1，在區(qū)間（-1，1）上分別取得極大值1和極小值-1，對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)分別為a，b
（1）證明：a+b=0；
（2）求h（x）的表達(dá)式；
（3）已知三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-1，1）上滿足-1＜f（x）＜1．證明當(dāng)|x|＞1時(shí)，有|f（x）|＜|h（x）|

Answer 1

分析：（1）由h（1）=1，h（-1）=-1可得q+s=0，r+p=1，代入整理可得h（x）=px³-sx²+（1-p）x+s，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系整理；
（2）由（1）的結(jié)論可求s=q=0，根據(jù)h（a）=1，h′（a）=0可求得答案；
（3）|f（x）|＜|h（x）|?f²（x）＜g²（x）?[f（x）+g（x）]•{f（x）-g（x）]＜0，由題意有|f（1）|＜1，|f（-1）|＜1，構(gòu)造函數(shù)F（x）=h（x）+f（x），G（x）=h（x）-f（x），結(jié)合已知研究函數(shù)F（x）、G（x）在（-1，1）上的極值，從而可得F（x）•G（x）＜0，可證結(jié)論．

解答：解：（1）由h（1）=1，h（-1）=-1得q+s=0，r+p=1
h（x）=px³-sx²+（1-p）x+s
h’（x）=3px²-2sx+1-p
因?yàn)椋?1，1）內(nèi)有兩極值且h（1）=1，所以有p＞0，h（α）+h（β）=p（α³+β³）-s（α²+β²）+（1-p）（α+β）+s=0（*）
又由韋達(dá)定理得α+β=

2s

3p

，
即s=

3

2

p(α+β)代入（*）中得(α+β)[-

1

2

p(α+β)2+1+2p]=0
因?yàn)閜＞0，a+b?（-2，2），所以-

1

2

p(α+β)2+1+2p＞1
所以有α+β=0
（2）由α+β=0得s=0，q=0
所以h（x）=px³+（1-p）x，又h（α）=1，h'（α）=0
消去p得（2α+1）（α-1）²=0所以有α=-

1

2

，p=4
所以有h（x）=4x³-3x
（3）因?yàn)閨x|＜1時(shí)|f（x）|＜1，所以有|f（1）|＜1，|f（-1）|＜1
令F（x）=h（x）+f（x），G（x）=h（x）-f（x）
則有F（1）=1+f（1）＞0，F(xiàn)（

1

2

）=-1+f（

1

2

）＜0，
F（-

1

2

）=1+f（-

1

2

）＞0，F(xiàn)（-1）=-1+f（-1）＜0
所以有F（x）在（-1，1）內(nèi)有極大值和極小值，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＞0，當(dāng)x＜-1時(shí)，F(xiàn)（x）＜0
同理有：G（1）=1-f（1）³0，G（

1

2

）=-1-f（

1

2

）＜0，G（-

1

2

）=1-f（-

1

2

）＞0，
G（-1）=-1-f（-1）£0
所以有G（x）在（-1，1）內(nèi)有極大值和極小值，
當(dāng)x＞1時(shí)，G（x）＞0，當(dāng)x＜-1時(shí)，G（x）＜0
所以當(dāng)|x|＞1時(shí)，有F（x）•G（x）＞0即h²（x）＞f²（x）即|h（x）|＞|f（x）|

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，主要考查了考試的運(yùn)用知識(shí)的能力及分析問題、解決問題的能力，還要求考試具備一定的邏輯推理能力，試題的難度較大．