Question

設三次函數h（x）=px³+qx²+rx+s滿足下列條件：h（1）=1，h（-1）=-1，在區間（-1，1）上分別取得極大值1和極小值-1，對應的極點分別為a，b
（1）證明：a+b=0；
（2）求h（x）的表達式；
（3）已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-1，1）上滿足-1＜f（x）＜1．證明當|x|＞1時，有|f（x）|＜|h（x）|

Answer 1

【答案】分析：（1）由h（1）=1，h（-1）=-1可得q+s=0，r+p=1，代入整理可得h（x）=px³-sx²+（1-p）x+s，對函數求導，結合方程的根與系數的關系整理；
（2）由（1）的結論可求s=q=0，根據h（a）=1，h′（a）=0可求得答案；
（3）|f（x）|＜|h（x）|?f²（x）＜g²（x）?[f（x）+g（x）]•{f（x）-g（x）]＜0，由題意有|f（1）|＜1，|f（-1）|＜1，構造函數F（x）=h（x）+f（x），G（x）=h（x）-f（x），結合已知研究函數F（x）、G（x）在（-1，1）上的極值，從而可得F（x）•G（x）＜0，可證結論．
解答：解：（1）由h（1）=1，h（-1）=-1得q+s=0，r+p=1
h（x）=px³-sx²+（1-p）x+s
h’（x）=3px²-2sx+1-p
因為（-1，1）內有兩極值且h（1）=1，所以有p＞0，h（α）+h（β）=p（α³+β³）-s（α²+β²）+（1-p）（α+β）+s=0（*）
又由韋達定理得，
即代入（*）中得
因為p＞0，a+bÎ（-2，2），所以
所以有α+β=0
（2）由α+β=0得s=0，q=0
所以h（x）=px³+（1-p）x，又h（α）=1，h'（α）=0
消去p得（2α+1）（α-1）²=0所以有
所以有h（x）=4x³-3x
（3）因為|x|＜1時|f（x）|＜1，所以有|f（1）|＜1，|f（-1）|＜1
令F（x）=h（x）+f（x），G（x）=h（x）-f（x）
則有F（1）=1+f（1）＞0，F（）=-1+f（）＜0，
F（）=1+f（-）＞0，F（-1）=-1+f（-1）＜0
所以有F（x）在（-1，1）內有極大值和極小值，
當x＞1時，F（x）＞0，當x＜-1時，F（x）＜0
同理有：G（1）=1-f（1）³0，G（）=-1-f（）＜0，G（）=1-f（-）＞0，
G（-1）=-1-f（-1）£0
所以有G（x）在（-1，1）內有極大值和極小值，
當x＞1時，G（x）＞0，當x＜-1時，G（x）＜0
所以當|x|＞1時，有F（x）•G（x）＞0即h²（x）＞f²（x）即|h（x）|＞|f（x）|
點評：本題是函數的導數及函數的性質的綜合運用，主要考查了考試的運用知識的能力及分析問題、解決問題的能力，還要求考試具備一定的邏輯推理能力，試題的難度較大．