Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，圓的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）．

（Ⅰ）若， 是直線與軸的交點， 是圓上一動點，求的最大值；

（Ⅱ）若直線被圓截得的弦長等于圓的半徑倍，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或．

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先，根據所給a的值，將圓的極坐標方程化為普通方程，將直線的參數方程化為直角坐標方程，然后，根據圓的性質，將所求的最值轉化為到圓心的距離；（Ⅱ）首先，得到原點普通方程，然后，結合圓的弦長公式，建立關系式求解a的值即可．

試題解析：

（Ⅰ）當時，圓的極坐標方程為，可化為，

化為直角坐標方程為，即.

直線的普通方程為，與軸的交點的坐標為，

∵圓心與點的距離為，

∴的最大值為.

（Ⅱ）由，可化為，

∴圓的普通方程為.

∵直線被圓截得的弦長等于圓的半徑的倍，

∴由垂徑定理及勾股定理得：圓心到直線的距離為圓半徑的一半，

∴，解得或．