Question

【題目】已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且 為偶函數，對于函數y=f（x）有下列幾種描述，其中描述正確的是（ ） ①y=f（x）是周期函數；②x=π是它的一條對稱軸
③（﹣π，0）是它圖象的一個對稱中心；④當 時，它一定取最大值

A.①②
B.①③
C.②④
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：由已知可得：f（﹣x）=﹣f（x） …（1）
f（﹣x﹣ ）=﹣f（x+ ）…（2）
f（﹣x+ ）=f（x+ ）…（3）
由（3）知 函數f（x）有對稱軸x=
由（2）（3）得 f（﹣x﹣ ）=﹣f（﹣x+ ）；
令z=﹣x+ 則﹣x﹣ =z﹣π，
∴f（z﹣π）=﹣f（z），
故有f（z﹣π﹣π）=﹣f（z﹣π），
兩者聯立得 f（z﹣2π）=f（z），
可見函數f（x）是周期函數，且周期為2π；
由（1）知：f（﹣z）=﹣f（z），代入上式得：f（z﹣2π）=﹣f（﹣z）；
由此式可知：函數f（x）有對稱中心（﹣π，0）
由上證知①③是正確的命題．
故應選B
分析：本題函數的性質，先對已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且 為偶函數用定義轉化為恒等式，再由兩個恒等式進行合理變形得出與四個命題有關的結論，通過推理證得①③正確．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．