Question

如圖，橢圓方程x²+3y²=12，過D（0，10）直線l交橢圓于A、B兩點，若OAB為直角三角形，求直線l方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：先設出A（

12

cosθ，2sinθ），從而求出

OA

，

DA

的坐標，得到

OA

•

DA

=-4（2sinθ-1）（sinθ+3），結合OA⊥AB，從而得方程組解出即可．

解答： 解：設A（

12

cosθ，2sinθ），則

OA

=（

12

cosθ，2sinθ），

DA

=（

12

cosθ，2sinθ-10），
∴

OA

•

DA

=12cos²θ+4sin²θ=-4（2sinθ-1）（sinθ+3），
∵OA⊥AB，∴

OA

•

DA

=0，2sinθ-1=0，θ=30°，
∴A（±3，1），D（0，10），
∴直線AB為：10x+3y+10=0或10x-3y+30=0．

點評：本題主要考查了向量以及橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．