Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

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a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BD⊥PO，BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）證明∠BAD為二面角B-PA-D的平面角，即可求解；
（Ⅲ）設(shè)F為PC中點，取PE中點G，連接FG、BG，設(shè)AC、BD交于O，連接OE，由三角形中位線定理可得GF∥EC，OE∥BP，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面BGF∥平面AEC，由面面平行的性質(zhì)可得BF∥平面AEC．

解答： 解：設(shè)BD∩AC=O，則
∵ABCD是菱形，PB=PD，
∴BD⊥PO，BD⊥AC，
∵AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）∵PA=AC=a，PB=PD=

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a，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC=a，∠PAB=∠PAD=90°，
∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角，
∴二面角B-PA-D的大小為120°；
（Ⅲ）設(shè)F為PC中點，取PE中點G，連接FG、BG
設(shè)AC、BD交于O，連接OE
由PG=GE，PF=FC得GF∥EC
由DO=OB，DE=EG得OE∥BG
∴平面BGF∥平面AEC
∴BF∥平面AEC
∴F是PC中點時，BF∥平面AEC．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．