Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為2，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為－.設直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)若＝ (O為坐標原點)，求|y1－y2|的值；

(2)當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）4（2）存在Q(3,0)

【解析】(1)由橢圓的定義知a＝，設P(x，y)，

則有，則＝－，

又點P在橢圓上，則＝－，

∴b2＝2，

∴橢圓C的方程是＝1.(3分)

∵＝，

∴|cos∠AOB＝，

∴|sin∠AOB＝4，

∴S△AOB＝|sin∠AOB＝2，

又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)

(2)假設存在一點Q(m,0)，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角，

依題意可知直線l斜率存在且不為零，

直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵直線QA，QB的傾斜角互為補角，

∴kQA＋kQB＝0，即＝0，(13分)

又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，

∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直線QA，QB的傾斜角互為補角．(16分)