Question

已知函數f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝aln x，a∈R.

(1)若對任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范圍；

(2)設F(x)＝若P是曲線y＝F(x)上異于原點O的任意一點，在曲線y＝F(x)上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）(－∞，－1]（2）(－∞，0]

【解析】(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x..

由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等號不能同時取得，所以ln x＜x，x－ln x＞0.

從而a≤恒成立，a≤min.(4分)

設t(x)＝，x∈[1，e]．求導，得t′(x)＝.(6分)

x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，從而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上為增函數．

所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范圍是(－∞，－1]．(8分)

(2)F(x)＝

設P(t，F(t))為曲線y＝F(x)上的任意一點．

假設曲線y＝F(x)上存在一點Q(－t，F(－t))，使∠POQ為鈍角，

則＜0.(10分)

①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．

由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.

當t＝－1時，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．

當t＜－1時，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.(12分)

②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，則＝－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t2)＜0，

即t4－t2＋1＞0對－1＜t＜1，且t≠0恒成立．(14分)

③當t≥1時，同①可得a≤0.

綜上所述，a的取值范圍是(－∞，0]．(16分)