Question

【題目】已知函數

（1）若，，若的單調區間；

（2）當時，若存在唯一的零點，且，其中，求.

（參考數據：，）

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2） .

【解析】

（1）將，代入函數解析式，求得并令，即可由導函數的符號判斷單調區間.

（2）將代入函數解析式，求得.結合定義域及二次函數性質可知的單調區間，并根據零點意義代入方程和函數，可得零點的函數表達式.構造函數，并求得可證明的單調性，結合零點存在定理及所給參考數據，即可求得的值.

（1）將，代入函數解析式可得，定義域為，

則

令，解得，（舍），

所以當時，；

當時，；

故的單調遞減區間為；的單調遞增區間為.

（2）將代入函數解析式可得，

則

因為，且對于來說，，

所以有兩個不等式實數根，

且，

所以兩根異號，不妨設則，

則由定義域為可得在內遞減，在內遞增，

因為，

要存在唯一的零點，且，則，

所以，化簡可得.

令，

則

所以在時單調遞減，

由題可知，，

而，

所以

即