Question

【題目】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．

一次性購物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顧客數（人）	x	30	25	y	10
結算時間（分鐘/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．
（1）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；
（2）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．（注：將頻率視為概率）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；

將頻率視為概率可得P（X=1）= =0.15；P（X=1.5）= =0.3；P（X=2）= =0.25；P（X=2.5）= =0.2；P（X=3）= =0.1

X的分布列

X	1	1.5	2	2.5	3
P	0.15	0.3	0.25	0.2	0.1

X的數學期望為E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9

（2）

解：記A：一位顧客一次購物的結算時間不超過2.5分鐘，Xi（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則

P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）

由于各顧客的結算相互獨立，且Xi（i=1，2）的分布列都與X的分布列相同，所以

P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125

故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為0.1125

【解析】（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可確定，y的值，將頻率視為概率，故可求相應的概率，由此可得X的分布列與數學期望；（2）記A：一位顧客一次購物的結算時間不超過2.5分鐘，Xi（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顧客的結算相互獨立，且Xi（i=1，2）的分布列都與X的分布列相同，故可得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解離散型隨機變量及其分布列(在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列)．