Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的圖象在（為自然對數的底數）處的切線方程；

（2）若對任意的，均有，則稱為在區間上的下界函數，為在區間上的上界函數.

①若，求證：為在上的上界函數；

②若，為在上的下界函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）求出和的值，利用點斜式可求得所求切線的方程；

（2）①利用導數得出，，可得出，結合題中定義可得出結論；

②由題意得出對任意的恒成立，利用參變量分離法得出，設，利用導數求出函數在上的最小值，由此可求得實數的取值范圍.

（1）因為，所以，

所以函數的圖象在處的切線斜率.

又因為，所以函數的圖象在處的切線方程為；

（2）①由題意得函數的定義域為.

令，得.

所以當時，；當時，.

故函數在上單調遞增，在上單調遞減.

所以.

因為，所以，

故當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，

從而，所以，即，

所以函數為在上的上界函數；

②因為函數為在上的下界函數，

所以，即.

因為，所以，故.

令，，則.

設，，則，

所以當時，，從而函數在上單調遞增，

所以，

故在上恒成立，所以函數在上單調遞增，

從而.

因為在上恒成立，所以在上恒成立，

故，即實數的取值范圍為.