Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，圓，點是圓上一動點，線段的中垂線與線段交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，且存在點（其中不共線），使得被軸平分，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據中垂線性質得，即得，再根據橢圓定義確定軌跡方程，（2）因為被軸平分，所以，設坐標代入表示得 ，設直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理代入化簡，最后根據方程恒成立條件得直線過定點.

試題解析：（1）由已知， ，圓的半徑為

依題意有： ，

故點P的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，即

故點P的軌跡E的方程為

（2）令，因A，B，D不共線，故的斜率不為0，可令的方程為： ，則由

得

則 ①

被軸平分，

即，亦即 ②

而 代入②得：

③

①代入③得：

時得： 此時的方程為： 過定點（1，0）

時 ， 亦滿足，此時的方程為：

綜上所述，直線恒過定點（1，0）