Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

1證明：；

2若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

要證明，我們可能證明面PAD，由已知易得，我們只要能證明即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉(zhuǎn)化為證明，由已知易我們不難得到結(jié)論；由EH與平面PAD所成最大角的正切值為，我們分析后可得PA的值，由的結(jié)論，我們進而可以證明平面平面ABCD，則過E作于O，則平面PAC，過O作于S，連接ES，則為二面角的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值．

1證明：由四邊形ABCD為菱形，，可得為正三角形．

因為E為BC的中點，所以．

又，因此．

因為平面ABCD，平面ABCD，所以．

而平面PAD，平面PAD且，

所以平面又平面PAD，

所以．

2設，H為PD上任意一點，連接AH，EH．

由1知平面PAD，

則為EH與平面PAD所成的角．

在中，，

所以當AH最短時，最大，

即當時，最大．

此時，

因此又，所以，

所以．

因為平面ABCD，平面PAC，

所以平面平面ABCD．

過E作于O，則平面PAC，

過O作于S，連接ES，則為二面角的平面角，

在中，，，

又F是PC的中點，在中，，

又，

在中，，

即所求二面角的余弦值為．