【題目】四棱錐
中，底面
是邊長為2的菱形，
.
,且
平面，
，點
分別是線段
上的中點，
在
上.且
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求直線
與平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.
【答案】（1）見解析（2）
（3）四邊形
為平面
與四棱錐的表面的交線
【解析】分析：（Ⅰ）推導出
，由此能證明
平面；
（Ⅱ）推導出
，
，
，以O為原點，OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立空間直角做消息，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值；
（Ⅲ）法1：延長
分別交
延長線于
，連接，發現剛好過點
，,連接
，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
法2：記平面與直線
的交點為
，設
，，利用向量法求出
，從而即為點.連接
，
，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
解析：解:（Ⅰ）在
中，因為點
分別是線段
上的中點，
所以
因為
平面，
平面.
所以平面.
（Ⅱ）因為底面
是邊長為2的菱形，
所以，
因為
平面，
所以，，
如圖，建立空間直角坐標系，則依題意可得
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
， 
設平面的法向量為
，則由
可得
，
令
，可得
因為
.
所以直線
與平面的成角的正弦值為
（Ⅲ）法Ⅰ：延長分別交延長線于，連接，發現剛好過點，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
法2：記平面與直線的交點為，設，則
由
，可得.
所以即為點.
所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.
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【題目】已知函數
，
．
（1）若
在區間
上不單調，求
的取值范圍；
（2）設
，若函數
在區間
恒有意義，求實數
的取值范圍；
（3）已知方程
在
有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩個定點
，
， 動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
，直線
：
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）若與曲線交于不同的
、
兩點，且
(
為坐標原點)，求直線的斜率；
（3）若
，
是直線上的動點，過作曲線的兩條切線
、
，切點為
、
，探究：直線
是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】由于研究性學習的需要，中學生李華持續收集了手機“微信運動”團隊中特定20名成員每天行走的步數，其中某一天的數據記錄如下：
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
對這20個數據按組距1000進行分組，并統計整理，繪制了如下尚不完整的統計圖表：
步數分組統計表（設步數為
）
組別 | 步數分組 | 頻數 |
|
| 2 |
|
| 10 |
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
（Ⅰ）寫出
的值，并回答這20名“微信運動”團隊成員一天行走步數的中位數落在哪個組別；
（Ⅱ）記
組步數數據的平均數與方差分別為
,
,
組步數數據的平均數與方差分別為
，
，試分別比較與以，與
的大小；(只需寫出結論)
（Ⅲ）從上述
兩個組別的數據中任取2個數據，記這2個數據步數差的絕對值為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線關于
軸對稱，它的頂點在坐標原點，點
、
、
均在拋物線上.
（1）寫出該拋物線的方程及其準線方程；
（2）當
與
的斜率存在且傾斜角互補時，求
的值及直線
的斜率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列五個命題：
①函數
的一條對稱軸是
；
②函數
的圖象關于點(
,0)對稱；
③正弦函數在第一象限為增函數
④若
，則
，其中
以上四個命題中正確的有 （填寫正確命題前面的序號）
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