Question

【題目】已知數列的前項和為，數列的前項和為，滿足，，，且.若存在，使得成立，則實數的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據數列的遞推公式可求出，再利用累乘法求出通項公式，再構造數列Bn＝T2n﹣Tn，判斷數列的單調性，即可求出

∵3Sn＝（n+m）an，

∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，

∴3Sn＝（n+2）an，①，

當n≥2時，3Sn﹣1＝（n+1）an﹣1，②，

由①﹣②可得3an＝（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，

即（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，

∴，

∴，，，…，，，

累乘可得an＝n（n+1），

經檢驗a1＝2符合題意，

∴an＝n（n+1），n∈N*，

∵anbn＝n，

∴bn，

令Bn＝T2n﹣Tn，

則Bn+1﹣Bn0，

∴數列{Bn}為遞增數列，

∴Bn≥B1，

∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，

∴λ≥B1，

故實數λ的最小值為，

故答案為：．