Question

等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結、 (如圖2).

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅱ）在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時

【解析】

試題分析：（Ⅰ）二面角為直二面角,要證平面；只要證；

（Ⅱ）假設存在點,使直線與平面所成的角為，根據直線與平面所成的角的定義作出

直線與平面所成的角，設的長為，用表示，在直角中，

根據勾股定理列出方程，若方程有解則存在，否則不存在.或借助已有的垂直關系；也可以為坐標原點建立空間直角標系,求出平面的一個法向量 ，利用建立方程，解這個方程探求 點的存在性.

試題解析：證明:(1)因為等邊△的邊長為3,且,

所以,. 在△中,,

由余弦定理得

. 因為,

所以. 3分

折疊后有,因為二面角是直二面角,

所以平面平面 ,又平面平面,

平面,, 所以平面. 6分

(2)解法1:假設在線段上存在點,使直線與平面所成的角為.

如圖,作于點,連結、 ，

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面,

所以是直線與平面所成的角 , 8分

設,則,,在△中,,所以 ,在△中,, ,由, 得 ,解得,滿足,符合題意 所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 12分

解法2:由(1)的證明,可知,平面.

以為坐標原點,以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖 ,設, 則,, ,所以,,,所以 ,因為平面, 所以平面的一個法向量為 , 9分

因為直線與平面所成的角為,

所以,

解得 ,即,滿足,符合題意,所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 . 12分

考點：1、直線與平面垂直的判定；2、直線與平面所成角的求法；3、空間直角坐標系.