Question

等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、 （如圖2）．

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）這是一個(gè)證明題，先用利用余弦定理在求出的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理證明，從而在折疊后對(duì)應(yīng)地有，然后利用平面平面，結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示條件說明平面，

然后再過點(diǎn)作，便可以得到平面，從而為直線與平面所成的角，進(jìn)而圍繞的長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算；方法2是利用空間向量法，先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（1）中的提示條件說明平面，將視為平面的一個(gè)法向量，然后利用確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算的長(zhǎng)度.

試題解析：證明：（1）因?yàn)榈冗叀?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020062666930057_DA.files/image020.png">的邊長(zhǎng)為3，且，

所以，．

在△中，，

由余弦定理得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020062666930057_DA.files/image028.png">，所以．

折疊后有．                                2分

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020062666930057_DA.files/image029.png">是直二面角，所以平面平面．           3分

又平面平面，平面，，

所以平面．                               4分

（2）解法1：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為．

如圖，作于點(diǎn)，連結(jié)、．      5分

由（1）有平面，而平面，

所以．                   6分

又，

所以平面．                               7分

所以是直線與平面所成的角．                     8分

設(shè)，則，．                   9分

在△中，，所以．                  10分

在△中，，．                     11分

由，

得．                            12分

解得，滿足，符合題意．                       13分

所以在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為，此時(shí)．   14分

解法2：由（1）的證明，可知，平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．                       5分

設(shè)，

則，，．         6分

所以，，．    7分

所以．                             8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020062666930057_DA.files/image076.png">平面，

所以平面的一個(gè)法向量為．                    9分

因?yàn)橹本�與平面所成的角為，

所以                               10分

，                       11分

解得．                                    12分

即，滿足，符合題意．                     13分

所以在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為，此時(shí)．   14分

考點(diǎn)：直線與平面垂直、余弦定理、直線與平面所成的角、空間向量