【題目】如圖，正方體
，則下列四個命題：
①點
在直線
上運動時，直線
與直線
所成角的大小不變
②點在直線上運動時，直線與平面
所成角的大小不變
③點在直線上運動時，二面角
的大小不變
④點在直線上運動時，三棱錐
的體積不變
其中的真命題是 （ ）
A.①③B.③④C.①②④D.①③④
【答案】D
【解析】
①由
與平面
的位置關系判斷直線
與直線所成角的大小變化情況；
②考慮
與平面
所成角的大小，然后判斷直線與平面所成角的大小是否不變；
③根據
以及二面角的定義判斷二面角
的大小是否不變；
④根據線面平行的性質以及三棱錐的體積計算公式判斷三棱錐
的體積是否不變.
①如下圖，連接
，
因為
，所以
平面，
所以
，所以直線與直線所成角的大小不變；
②如下圖，連接
，記
到平面的距離為
，
設正方體棱長為
，所以
，所以
，
又因為
，所以
，
所以
與平面所成角的正弦值為：
，
又因為
，所以
，
所以所以
與平面所成角的正弦值為：
，
顯然
，所以直線與平面所成角的大小在變化；
③因為，所以
四點共面，又
在直線
上，所以二面角的大小不變；
④因為，
平面，
平面，所以
平面，
所以當在上運動時，點到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變.
所以真命題有：①③④.
故選：D.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系中，坐標原點為
，點
，
、
兩點分別在
軸和
軸上運動，并且滿足
，
，動點
的軌跡為曲線
.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）作曲線的任意一條切線（不含軸）
，直線
與切線相交于
點，直線
與切線、軸分別相交于
點與
點，試探究
的值是否為定值，若為定值請求出該定值；若不為定值請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
分別在
、
處取得極小值、極大值．
平面上點
、
的坐標分別為
、
，該平面上動點
滿足
，點
是點關于直線
的對稱點．
（Ⅰ）求點、的坐標；
（Ⅱ）求動點的軌跡方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的方程為
，集合
，若對于任意的
，都存在
，使得
成立，則稱曲線為
曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號）
①
；②
；③
；④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，設橢圓
的下頂點為
，右焦點為
，離心率為
.已知點
是橢圓上一點，當直線
經過點時，原點
到直線的距離為.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設直線與圓
：相交于點
（異于點），設點關于原點的對稱點為
，直線
與橢圓相交于點
（異于點）．①若
，求
的面積；②設直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，求證：
是定值．
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