Question

【題目】在平面直角坐標系中，設橢圓的下頂點為，右焦點為，離心率為.已知點是橢圓上一點，當直線經過點時，原點到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與圓：相交于點（異于點），設點關于原點的對稱點為，直線與橢圓相交于點（異于點）．①若，求的面積；②設直線的斜率為，直線的斜率為，求證：是定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）運用橢圓的離心率公式以及點到直線的距離公式，解方程可得，，，進而得到所求橢圓方程；（2）設直線的斜率為，則直線的方程為，聯立橢圓方程可得的坐標，聯立圓方程可得的坐標，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標，①由可得，求得，坐標，以及，，由的面積為，計算可得；②運用兩點的斜率公式，分別計算線的斜率為，直線的斜率為，即可得證.

（1）據題意，橢圓的離心率為，即.①

當直線經過點時，直線的方程為，即，

由原點到直線的距離為，可知，

即.③

聯立①②可得，，，故.

所以橢圓的方程為.

（2）據題意，直線的斜率存在，且不為0，

設直線的斜率為，則直線的方程為，

聯立，整理可得，

所以或.

所以點的坐標為，

聯立和，

整理可得，所以或.

所以點的坐標為.

顯然，是圓的直徑，故，

所以直線的方程為.

用代替，得點的坐標為，

即.

①由可得，，

即，解得.

根據圖形的對稱性，不妨取，

則點，的坐標分別為，，

故，.

所以的面積為.

②證明：直線的斜率，

直線的斜率.

所以為定值，得證.