Question

設F₁、F₂分別為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左右焦點，A為雙曲線的左頂點，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于M、N兩點，且滿足∠MAN=120°，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出M，N的坐標，再利用余弦定理，求出a，c之間的關系，即可得出雙曲線的離心率．

解答： 解：設以F₁F₂為直徑的圓與漸近線y=

b

a

x相交與點M的坐標為（x₀，y₀）（x₀＞0），
根據對稱性得N點的坐標為（-x₀，-y₀），
∴

y0= b a x0 x02+y02=c2

；
解得M（a，b），N（-a，-b）；
又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c²=（a+a）²+b²+b²-2

(a+a)2+b2

•bcos 120°，
化簡得7a²=3c²，
∴e=

c

a

=

21

3

．
故答案為：

21

3

．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程與幾何性質的應用問題，解題時應熟記它的幾何性質是什么，屬于基礎題．