Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，如果PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分別為PC，PD，BC的中點
（Ⅰ）求證：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）求證：CG⊥平面PCD，并求P-EFG三棱錐的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先由PB∥平面EFG，AB∥平面EFG證明平面PAB∥平面EFG，再證明PA∥平面EFG；
（Ⅱ）由PD⊥CG，CG⊥CD，證明CG⊥平面PCD；
由V_{三棱錐P-EFG}=V_{三棱錐G-PEF}，求出△PEF的面積S_△PEF以及棱錐的高CG即可求出體積．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵PB∥EG，PB?平面EFG，
∴PB∥平面EFG；-----（2分）
又∵AB∥DC，EF∥DC，
∴AB∥EF，
且AB?平面EFG，∴AB∥平面EFG；----（4分）
又∵PB∩AB=B，∴平面PAB∥平面EFG；-----（6分）
∴PA∥平面EFG；----（7分）
（Ⅱ）證明：∵PD⊥平面ABCD，CG?平面ABCD，
∴PD⊥CG；-------（9分）
又∵CG⊥CD，且PD∩CD=D，
∴CG⊥平面PCD；------（11分）
又∵PF=EF=

1

2

PA=1，CG=

1

2

DA=1，
∴V_{三棱錐P-EFG}=V_{三棱錐G-PEF}
=

1

3

S_△PEF•CG
=

1

3

×

1

2

×1×1×1
=

1

6

．-----（14分）

點評：本題考查了空間中的平行與垂直的證明問題，解題時應熟練地運用幾何語言、符號語言和圖形語言進行解答，是中檔題．