Question

（2011•洛陽二模）已知點M（-5，0），F（1，0），點K滿足

MK

=2

KF

，P是平面內一動點，且滿足|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設l₁與曲線C相交于點A，B，l₂與曲線C相交于點D，E，求四邊形ADBE的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定K的坐標，再利用

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，即可求P點的軌跡C的方程；
（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，求得|AB|，|DE|，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）設K（x₀，y₀），P（x，y）
∵M（-5，0），F（1，0），

MK

=2

KF

，
∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀）
∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0）
∵|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）
∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；
（2）設l₁的方程為x=ny+1（n≠0），與y²=4x聯立，消去x可得y²-4ny-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4
∴|AB|=

1+n2

|y1-y2|=4（n²+1）
∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程為x=-

1

n

y+1，與y²=4x聯立，
同理可得|DE|=4（

1

n2

+1）
∴四邊形ADBE的面積為

1

2

|AB||DE|=8（n²+1）（

1

n2

+1）=8（n²+

1

n2

+2）≥32
當且僅當n²=

1

n2

，即n=±1時，四邊形ADBE的面積的最小值為32．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式，屬于中檔題．