Question

（2011•洛陽二模）已知函數f（x）=（ax²-2x+a）e^-x
（I）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設g(x)=-

f′(x)

e-x

-a-2，h(x)=

1

2

x2-2x-lnx，若x＞l時總有g（x）＜h（x），求實數c范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=l時，確定函數的定義域，求導函數，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）構造F（x）=g（x）-h（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx（x＞1），x＞l時總有g（x）＜h（x），等價于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，分類討論，確定函數的單調性，即可求a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=l時，f（x）=（ax²-2x+a）e^-x，其定義域為R
求導函數可得：f′（x）=-（x-1）（x-3）e^-x，
由f′（x）＞0，可得1＜x＜3；由f′（x）＜0，可得x＜1或x＞3
∴函數f（x）的單調遞增區間為（1，3），單調遞減區間為（-∞，1），（3，+∞）；
（Ⅱ）∵f′（x）=-[ax²-2（a+1）x+a]e^-x，∴g（x）=ax²-2（a+1）x
令F（x）=g（x）-h（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx（x＞1）
x＞l時總有g（x）＜h（x），等價于F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立
求導函數，可得F′（x）=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

①若a＞

1

2

，令F′（x）=0，得x₁=1，x₂=

1

2a-1

當x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1時，在（1，x₂）上，F′（x）＜0，則函數單調遞減，在（x₂，+∞）上，F′（x）＞0，則函數單調遞增，故函數的值域為[F（x₂），+∞），不合題意，舍去；
②若a≤

1

2

，即2a-1≤0時，在（1，+∞）上，F′（x）＜0，則函數單調遞減，∴F（x）＜F（1）=-a-

1

2

≤0，∴-

1

2

≤a≤

1

2

，
綜上，a的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．