Question

（2011•洛陽二模）設函數f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）若關于x的不等式a≥f（x）存在實數解，求實數a的取值范圍；
（2）若?x∈R，f（x）≥-t²-

5

2

t-1恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數f（x）的解析式，利用單調性求出函數f（x）的最小值等于-

5

2

，由此可得實數a的取值范圍．
（2）由?x∈R，f（x）≥-t²-

5

2

t-1恒成立，可得-

5

2

≥-t²-

5

2

t-1，由此解得 t的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3 ，  x≤- 1 2 3x-1  ， - 1 2 ＜x＜2 x+3  ，  x≥2

，
∴f_min（x）=f（-

1

2

）=-

5

2

．
由題意可得a≥-

5

2

，故實數a的取值范圍為[-

5

2

，+∞）．
（2）∵?x∈R，f（x）≥-t²-

5

2

t-1恒成立，
∴-

5

2

≥-t²-

5

2

t-1，解得 t≥

1

2

，或 t≤-3．
故實數t的取值范圍為[

1

2

，+∞）∪（-∞，-3]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，求函數的最值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．