Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R 恒成立，則下列結論正確的是（　�。�
①f（

11π

12

）=0；
②既不是奇函數也不是偶函數；
③f（x）的單調遞增區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
④存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交．

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,復合三角函數的單調性

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：由題意知，f（

π

6

）是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期為π；
①∵

11π

12

-

π

6

=

3π

4

為

3

4

個周期，∴f（

11π

12

）=0；
②由f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（

11π

6

+θ）=0可得θ≠

kπ

2

（k∈Z），則既不是奇函數也不是偶函數；
③若f（

π

6

）是f（x）的最大值，則[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）是f（x）的單調減區間；
④由-

a2+b2

≤a≤

a2+b2

，-

a2+b2

≤b≤

a2+b2

，結合三角函數的圖象可得，不存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交．

解答： 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），
又∵f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R 恒成立，
∴f（

π

6

）是f（x）的最大值或最小值，
f（x）的周期為π，
①∵

11π

12

-

π

6

=

3π

4

為

3

4

個周期，
∴f（

11π

12

）=0；
②由f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（

11π

6

+θ）=0，
則θ≠

kπ

2

（k∈Z），則既不是奇函數也不是偶函數；
③若f（

π

6

）是f（x）的最大值，則[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）是f（x）的單調減區間；
④∵-

a2+b2

≤a≤

a2+b2

，-

a2+b2

≤b≤

a2+b2

，
∴不存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交．
故選A．

點評：本題考查了三角函數的圖象及由圖象可得到的性質，用到了數形結合的思想，屬于中檔題．