Question

函數f（x）在定義域R上的導函數是f′（x），若f（x）=f（2-x），且當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，設a=f（0、b=f（

2

）、c=f（log₂8），則（　　）

• A、a＜b＜c
• B、a＞b＞c
• C、c＜a＜b
• D、a＜c＜b

Answer 1

考點：函數的單調性與導數的關系

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：先由x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，得函數f（x）在（-∞，1）上為增函數；又f（x）=f（2-x）得f（x）圖象關于x=1對稱，則 f（x）在（1，+∞）上為減函數，然后將f（0），f（

2

），f（log₂8）化到同一單調區間內比較即可．

解答： 解：∵x∈（-∞，1）時，
∴（x-1）f'（x）＜0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）上為增函數，
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）圖象關于x=1對稱，
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數，
又∵a=f（0）=f（2），b=f（

2

），c=f（log₂8）=f（3），
∴3＞2＞

2

，
∴c＜a＜b．
故選：C．

點評：解題的關鍵為由f（x）=f（2-x）得函數圖象關于x=1對稱，以及利用導數符號確定函數的單調性，屬于常用解題技巧．