Question

【題目】已知拋物線，、、為拋物線上不同的三點.

（1）當點的坐標為時，若直線過拋物線焦點且斜率為，求直線、斜率之積；

（2）若為以為頂點的等腰直角三角形，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設點、，可得出直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，然后利用斜率公式結合韋達定理可計算出直線、斜率之積；

（2）設點、、，設直線的斜率為，不妨設，可得出直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，求出，同理得出，再由得出，然后利用三角形的面積公式，結合基本不等式求出面積的最小值.

（1）設點、，則，

直線的斜率為，同理，直線的斜率為.

拋物線的焦點為，

直線的斜率為，且過點，則直線的方程為，

將直線的方程與拋物線的方程聯立，得，

，由韋達定理得，.

因此，直線、斜率之積為；

（2）設點、、，

設直線的斜率為，不妨設，則直線的方程為，

聯立直線與拋物線的方程，消去得，

由韋達定理得，，，同理可得，

，同理可得，

由題中圖象可知，與符號相反，

由得，則，

化簡得，

故的面積為，當且僅當時，等號成立，

因此，面積的最小值為.