Question

【題目】已知函數（其中）.

（1）當時，求函數的圖像在處的切線方程；

（2）若恒成立，求的取值范圍;

（3）設，且函數有極大值點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析。

【解析】試題分析：

（1）根據導數的幾何意義可得所求的切線方程．（2）由題意分離參數可得在上恒成立，設，利用導數可求得，故，解得，即為所求范圍．（3）將求導后由及根與系數的關系可得極大值點，然后得到， ．設，求導可得在上單調遞減，故，即不等式成立．

試題解析：

（1）當時， ， ，

∴，

∴，

又，

∴所求的切線方程為，

即

（2）有題意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

∵，

∴在上恒成立，

令，則

∴當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減．

∴當時， 取得極大值，也為最大值，且，

∴，解得，

∴實數的取值范圍是．

（3）證明：由題意得， ，

∴，

①當時， ， 單調遞增，無極值點．不符合題意；

②當或時，設的兩根為和，

∵為函數的極大值點，

∴，

由， ，知， ，

又由，得，

∵， ，

令，

則，

令, ，

則，

∴當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減．

∴，

∴

∴在上單調遞減，

∴，

∴．