Question

【題目】已知函數，且．

（1）求實數的值；

（2）判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性的定義證明；

（3）求實數的取值范圍，使得關于的方程分別為：

①有且僅有一個實數解；②有兩個不同的實數解；③有三個不同的實數解．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函數在區間上是單調遞增函數，證明見解析；

（3）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）將已知條件，解得，再結合是正數，可得；
（2）將（1）的結論代入得,根據函數單調性的定義，可設，且，通過作差化簡整理，最后得到，說明函數在區間上是增函數；

（3）首先，方程有一個解，然后分和加以討論：當且時，方程轉化為，解得，解不等式得或，當時，則，解得，解不等式得；最后綜合可得方程解集的情況．

（1）由，得，，∵，∴．

（2）由（1），，從而，只需研究在上的單調性．

當時，．

設，且，則

，

∵，∴，，，

∴，即．

∴函數在區間上是單調遞增函數．

（3）原方程即為 ……①

恒為方程①的一個解．

若時方程①有解，則，解得，

由，得；

若且時方程①有解，則，解得，

由且，得或．

綜上可得，當時，方程有且僅有一個解；

當時，方程有兩個不同解；

當時，方程有三個不同解．