Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，且a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2.
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=,T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n,是否存在最大的正整數k，使得對于任意的正整數n,有T_n＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）a_n=2·2^n-1=2ⁿ（2）存在最大正整數k=5使T_n＞恒成立

（1）由已知a_n=S_n-1+2                                            ①
得a_n+1=S_n+2                                               ②
②-①，得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1 (n≥2),
∴a_n+1=2a_n (n≥2).
又a₁=2,∴a₂=a₁+2=4=2a₁,
∴a_n+1=2a_n (n=1,2,3,…)
所以數列{a_n}是一個以2為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n=2·2^n-1=2ⁿ.
(2)b_n===,
∴T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n=++…+,
T_n+1=b_n+2+b_n+3+…+b_2(n+1)
=++…+++.
∴T_n+1-T_n=+-
=
=.
∵n是正整數，∴T_n+1-T_n＞0，即T_n+1＞T_n.
∴數列{T_n}是一個單調遞增數列，
又T₁=b₂=，∴T_n≥T₁=,
要使T_n＞恒成立，則有＞,即k﹤6,
又k是正整數，故存在最大正整數k=5使T_n＞恒成立.