Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}中，b₂=5，且公差d=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＞60n？若存在，求n的最小值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和Sn，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1兩式相減得：a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=2a₁+1=3=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N*）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1．
又b₁=b₂-d=5-2=3，∴b_n=b₁+（n-1）d=2n-1．
（2）an•bn=(2n+1)•3n-1
令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1…①
則3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ…②
①-②得：-2Tn=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n
∴T_n=n×3ⁿ＞60n，即3ⁿ＞60，
∵3³=27，3⁴=81，
∴n的最小正整數(shù)為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．