Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別是，其離心率，點為橢圓上的一個動點，面積的最大值為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，過點且斜率不為0的直線與橢圓相交于兩點，直線，與軸分別相交于兩點，試問是否為定值？如果，求出這個定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意得到關于b,c的方程組，求解方程組結合橢圓的性質可得，則橢圓的標準方程為．

（2）設直線的y軸截距式方程：，結合直線方程可得，． 聯立直線方程與橢圓方程有，結合韋達定理可得，則為定值.

試題解析：

（1）由題意知，當點是橢圓的上、下頂點時，的面積最大，

此時的面積，①

又橢圓的離心率，②

由①②得：，

所以，橢圓的標準方程為．

（2）設直線的方程為，則

直線的方程為，則，即，

同理可得．

由得，

由得且，

所以

，

故為定值．