Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=-n²+n，試求出數列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

a₁=S₁=-+=101．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-3n+104．
∵a₁也適合a_n=-3n+104，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=-3n+104（n∈N^*）．
由a_n=-3n+104≥0，得n≤34.7，即當n≤34時，a_n>0；當n≥35時，a_n＜0．
（1）當n≤34時，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+n．
（2）當n≥35時，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₃₄|+|a₃₅|+|a₃₆|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₃₄）-（a₃₅+a₃₆+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₃₄）-（a₁+a₂+…+a_n）
=2S₃₄-S_n
=2（-×34²+×34）-（-n²+n）
=n²-n+3 502．
故T_n=

對于帶絕對值號的數列求和問題，應先弄清n取什么值時a_n>0或a_n<0，然后求解．本題的易錯點在于對n在什么范圍內取值時a_n>0或a_n<0的討論．應注意的是當n≥35時，|a_n|=-a_n也是一個等差數列，在這種情況下如何求和的問題要掌握好．由S_n=-n²+n，知S_n是關于n的常數項為0的二次式，所以{a_n}是等差數列，進而求出通項a_n，然后再判斷哪些項為正的，哪些項為負的，最后求?出T_n．