Question

已知函數f（x）與F（x）滿足F（x）=f（x）+2，且f（x）在R上是奇函數．
（Ⅰ）若F（-1）=8，求F（1）；
（Ⅱ）若F（x）在（0，+∞）上的最大值為5，那么在（-∞，0）上F（0）是否存在最小值，若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：解：（1）由f（-1）=-f（1）、F（1）=f（1）+2，F（-1）=f（-1）+2=8，得f（-1）=6，故f（1）=-6，F（1）=-6+2=-4
（2）若F（x）在（0，+∞）上的最大值為5則f（x）在（0，+∞）上的最大值為3，f（x）在（-∞，0）上的最小值為-3，
再由F（x）=f（x）+2在（-∞，0）上的最小值為-3+2=-1．

解答： 解：（1）∵f（x）為R上的奇函數，
∴f（-1）=-f（1）．
∵F（1）=f（1）+2，F（-1）=f（-1）+2，
∵F（-1）=f（-1）+2=8，∴f（-1）=6，∴f（1）=-6，
∴F（1）=-6+2=-4；
（2）若F（x）在（0，+∞）上的最大值為5，∴F（x）=f（x）+2在（0，+∞）上的最大值為5，
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值為3，
∵f（x）為R上的奇函數，∴f（x）在（-∞，0）上的最小值為-3，
∴F（x）=f（x）+2在（-∞，0）上的最小值為-3+2=-1，
F（x）在（-∞，0）上存在最小值，這個最小值為-1．

點評：本題主要考查函數的性質，考查了函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題．