Question

已知函數．
（1）若為定義域上的單調函數，求實數m的取值范圍；
（2）當m=-1時，求函數的最大值；
（3）當，時，證明：．

Answer 1

（1）m≥0（2）0（3）構造函數利用導數證明

解析試題分析：(1)由已知得,
所以                                                                   2分
若f(x)在上是增函數,則,即在恒成立,
而,故m≥0;                                                                   4分
若f(x)在上是減函數,則,即在恒成立,
而,故這樣的m不存在.                                                         5分
經檢驗,當m≥0時, 對恒成立,
∴當m≥0時，f(x)在定義域上是單調增函數.                                                6分
(2)當m =－1時, ,則                       7分
當時,,此時f(x)為增函數,
當時, ,此時f(x)為減函數                                               9分
∴f(x)在x = 0時取得最大值,最大值為0.                                                   10分
(3)當m = 1時,令,           11分
在[0,1]上總有,即在[0,1]上遞增 ，                                          12分
∴當時,,即，             13分
令,由(2)知它在[0,1]上遞減,
所以當時,,即 ，             14分
綜上所述,當m = 1,且時,.                                  15分
考點：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值等和構造函數證明不等式.
點評：導數是研究函數性質的有力工具，利用導數研究函數性質時，不要漏掉函數的定義域，求函數的極值、最值等時最好列表格說明，證明不等式一般要構造函數利用單調性證明問題.