Question

【題目】對整點(diǎn)25邊形的頂點(diǎn)作三染色．求證：存在一個(gè)三頂點(diǎn)同色的三角形，它的重心也是整點(diǎn)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對25個(gè)頂點(diǎn)作三染色，必有9個(gè)頂點(diǎn)同色，不妨設(shè)同為紅色．

下面證明：必存在一個(gè)三頂點(diǎn)均為紅色的，其重心也是整點(diǎn)．

（1）若的橫（縱）坐標(biāo)中有五個(gè)模3同余，不妨設(shè)．

此時(shí)，由于中必有三個(gè)數(shù)其和能被3整除，

設(shè)．

則的重心也是整點(diǎn)．

同理，若縱坐標(biāo)中有五個(gè)模3同余，結(jié)論同樣成立．

（2）若的橫坐標(biāo)中任意五個(gè)模3不同余，且縱坐標(biāo)中任意五個(gè)也模3不同余，則被3除時(shí)，余數(shù)取遍0，1，2．

同理，被3除時(shí)，余數(shù)也取遍0，1，2．

從而，中至少有兩種余數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)

，

．

此時(shí)，若或有一個(gè)成立，則命題已真．

否則，對模3恰有兩個(gè)余數(shù)（記為，且）．

同理，對模3也恰有兩個(gè)余數(shù)（或?yàn)?/span>或?yàn)?/span>，或?yàn)?/span>）．也就是說對模3的余數(shù)只有兩種可能：

（i）包括全部；

（ii）只包括，但每一個(gè)重復(fù)2~4次．

此時(shí)，取，使．

于是，存在，使，

且，其中之一成立

從而，的重心也是整點(diǎn)．