Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸正半軸上，為直線上一點(diǎn)，圓與軸相切（為圓心），且，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

（1）求圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)的直線交圓于，兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）的標(biāo)準(zhǔn)方程為.的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）見(jiàn)證明

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，解得a、p,即可求出圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

（2）設(shè)l的斜率為k，那么其方程為y＝k（x+2），根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式即可證明．

（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.

已知在直線上，故可設(shè)

因?yàn)?/span>，關(guān)于對(duì)稱，所以，解得

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

因?yàn)?/span>與軸相切，故半徑，

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，直線的斜率存在，設(shè)為，且方程為

則到直線的距離為，

所以，

由消去并整理得：.

設(shè)，，則，，.

所以

因?yàn)?/span>，，，所以

所以，即.