Question

【題目】如圖，銳角的三邊互不相等，其垂心為，是邊的中點，直線，的外接圓交的外接圓于，直線與的外接圓、的外接圓分別交于證明：

（1）平分；

（2）三線共點。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)如圖，聯結.因四點共圓，其圓心為，則.

聯結.

由和分別四點共圓，得，

.相加得.

故四點共圓.

又因四點共圓，即有五點共圓，此圓直徑為，設圓心為.所以，，即三點共線.

由，即，故為的外接圓直徑.從而，.

由，知為的外接圓直徑.進而，，∥∥.

因直徑過的中點，故垂直且平分弦.

同理，的外接圓直徑.

又，則∥，∥.

于是，∽.所以，.①

由∥，得∽.所以，.②

①×②，且，有.

所以，∽.

故平分.平分；

(2)為證三線共點，只要證皆過點.

由于的圓心角，

所以，∥.因此，三點共線.

同理，三點共線.

因此，三線共點.