Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，點在棱上.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（I）設中點為，連接、.設出的邊長，通過計算證明，根據已知得到，由此證得平面，從而證得.（II）以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，利用平面計算出點的坐標，根據直線的方向向量和平面的法向量計算出線面角的正弦值.

（Ⅰ）設中點為，連接、.由題意.

∵，∴四邊形為平行四邊形，又，∴為正方形.

設，在中，，又，.

∴，∴.

∵平面，平面，∴.

∵，平面，且，∴平面.

∵平面，∴.

（Ⅱ）因為平面，所以，，又，故，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

由（Ⅰ）所設知，則，，，.

由已知平面，∴，設，則.

，∵，∴，，

∴.

設平面的法向量，則

令，得.

設所求的角為，.

所以直線與平面所成角的正弦值為.