Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線與有且只有一個公共點，求的值；

（2）求證：函數存在單調遞減區間，并求出單調遞減區間的長度的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）注意到函數的定義域為，，.

所以，在切點處的切線的斜率為.

因此，切線方程為.

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以，方程有且只有一個實數解.

顯然，是方程的一個解.

令. 則.

當時，（只有時等號成立），

于是，在上單調遞增，即是方程唯一的實數解.

當時，由，得，.

在區間上，，在區間上，.

所以，函數在處有極大值，且.

而當時，，因此，在內也有一個解，矛盾.

綜上，得.

（2）注意到.

故. ①

因為，且對稱軸為，

，

所以，方程在內有兩個不同實根、，即式①的解集為.

故函數的單調遞減區間為.

則.

又因為，所以，.

從而，函數的遞減區間長度的取值范圍為.