Question

已知函數f（x）=x³-ax²+bx+3（a，b∈R），若函數f（x）在[0，1]上單調遞減，則a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：根據函數單調性和導數之間的關系，將條件轉化為不等式組，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=x³-ax²+bx+3（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
若函數f（x）在[0，1]上單調遞減，
則f′（x）=3x²-2ax+b≤0，在[0，1]上單調遞減，
則

f′(0)≤0 f′(1)≤0

，即

b≤0 3-2a+b≤0

，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
則a²+b²的幾何意義是區域內的點到原點的距離的平方，
由圖象可知O到直線3-2a+b=0的距離d=

|3|

22+1

=

3

5

，
則a²+b²的最小值為d 2=

9

5

，
故答案為：

9

5

點評：本題主要考查不等式的求解，以及函數單調性和導數之間的關系，利用數形結合是解決本題的關鍵．