Question

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，作一條平行于的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線和直線的斜率分別為、，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值為.

【解析】

（1）由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)、在橢圓上，再說(shuō)明點(diǎn)不在橢圓上，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得出、的值，可求得橢圓的方程；

（2）計(jì)算出直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式可求得為定值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

（1）由于、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓經(jīng)過、兩點(diǎn).

又由知，橢圓不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在橢圓上.

因此，解得，故橢圓的方程為；

（2），，，故設(shè)直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)、，由可得，

，得且，

由韋達(dá)定理得，

所以（定值）.