Question

【題目】已知函數；

討論的極值點的個數；

若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當a≤0時，f（x）無極值點；當a＞0時，函數y=f（x）有一個極大值點，無極小值點；(2)見解析

【解析】

：（1）先求一階導函數的根，求解或的解集，寫出單調區間，最后判斷極值點。

（2）根據第（1）問的結論，若，轉化為證明.

：（1）根據題意可得，，

當時，，函數是減函數，無極值點；

當時，令，得，即，

又在上存在一解，不妨設為，

所以函數在上是單調遞增的，在上是單調遞減的.

所以函數有一個極大值點，無極小值點；

總之：當時，無極值點；

當時，函數有一個極大值點，無極小值點.

（2），，

由（1）可知有極大值，且滿足①，

又在上是增函數，且，所以，

又知：，②

由①可得，代入②得，

令，則恒成立，

所以在上是增函數，

所以，即，

所以.