Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數，它在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）在函數f（x）的圖象上是否存在點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M的切線斜率為3b？若存在，求出M點的坐標，若不存在，則說明理由；
（Ⅲ）設f（x）的圖象交x軸于A、B、C三點，且B的坐標為（2，0），求線段AC的長度|AC|的取值范圍．

Answer 1

（1）由條件可知f（x）在區間[-1，0]和[0，2]上有相反的單調性，
∴x=0是f（x）的一個極值點，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，則3ax²+2bx=0，
解得 x1=0，x2=-

2b

3a

．
又f（x）在區間[0，2]和[4，5]上有相反的單調性，
得

- 2b 3a ≥2 - 2b 3a ≤4

解得 -6≤

b

a

≤-3．
假設存在點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M處的切線斜率為3b，則f'（x₀）=3b 即3a

x

20

+2bx0-3b=0所以△=4ab(

b

a

+9)
∵-6≤

b

a

≤-3∴ab＜0，

b

a

+9＞0，∴△＜0，x₀無解
故不存在點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M處的切線斜率為3b
（3）設A（α，0），C（β，0），
則由題意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
則

b=-a(2+α+β) d=-2aαβ

，解得

α+β=- b a -2 αβ=- d 2a

又∵函數f（x）的圖象交x軸于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
αβ=4+

2b

a

從而 |AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=

( b a -2)2-16

∵-6≤

b

a

≤-3
∴當

b

a

=-6時，|AC|_max=4

3

；當

b

a

=-3時，|AC|_min=3．
所以3≤|AC|≤4

3