Question

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形中，，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且

【解析】

（1），，由線面垂直的判定定理得到平面，從而有，又，再由線面垂直的判定定理證明。

（2）假設(shè)在線段上是否存在點，使平面平面，根據(jù)（1）建立空間直角坐標系，設(shè)，則，所以，若使平面平面，分別求得兩個平面的法向量，再通過兩個法向量數(shù)量積為零求解.

（1）證明：因為于點，

所以，

，，且，

平面，

，

平面.

（2）假設(shè)在線段上是否存在點，使平面平面.

根據(jù)（1）建立如圖所示空間直角坐標系：

則，，

設(shè)，

則，所以，

所以，

設(shè)平面一個法向量為：，

則，即，

令，所以，

設(shè)平面一個法向量為：，

則，即，

令，所以，

因為平面平面，

所以，即

解得.

所以在線段上是否存在點，使平面平面，且.