Question

【題目】已知函數(shù).

(1) 如果，求函數(shù)的值域；

(2) 求函數(shù)＝的最大值；

(3) 如果對(duì)不等式中的任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 最大值為1. (3)

【解析】

(1)令，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域，注意換元后的范圍.

(2)去掉絕對(duì)值符號(hào)后可得，分別求出各自范圍上函數(shù)值的取值范圍可得的最大值．

(3)原不等式等價(jià)于在上恒成立，換元后利用參變分離可求的取值范圍．

解：令，

(1) .

因?yàn)?/span>，所以 ，所以 的值域?yàn)?/span>．

(2) ，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以

即

當(dāng)時(shí)，的最大值為1；當(dāng)時(shí)，.

綜上，當(dāng)時(shí)，取到最大值為1.

(3) 由，得.

因?yàn)?/span>，所以，

所以 對(duì)一切恒成立．

① 當(dāng)時(shí)，；

②時(shí)，恒成立，即.

因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．

所以的最小值為.

綜上，.