Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上無極值點，試討論函數的單調性；

（2）證明：當時，對于任意，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 當或時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；當時，在單調遞增，

單調遞減；當時，

單調遞減，在單調遞增.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）求出導數，由無極值點，得 （或恒成立，從而得，于是的，再求出導數，通過研究的根的情況得出（）的解集，從而得的單調性；

（2）利用導數知識可證，又在時，，因此要證題中不等式成立，只要證，這可由二次函數的性質得證.

詳解：（1）

，

因為函數在上沒有極值點，所以有，解得，

此時，

則，

，

(i)當時，在上，單調遞減，

在上，單調遞增，

（ii）當時，令方程的，解得或

①當時，在上，函數單調遞增，

②當時，在上，函數單調遞減，

當，即且時，方程的兩根為，

③當時，， 當 ，

，單調遞減；當時，， 單調遞增，

④當時，，當，

，單調遞增；當時，， 單調遞減.

綜上所述：當或時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；當時，在單調遞增，

單調遞減；當時，

單調遞減，在單調遞增.

（2）解：令，令，可得，

當時，，單調遞減，當，，單調遞增，

所以，即，

因為，所以，

又當時，，事實上.

要證原不等式成立，只需證明不等式，即.

事實上，令.

因為，二次函數的對稱軸為，所以，

令，關于在上單調遞減，所以

所以.

所以，當時，對于任意的，

不等式恒成立.