Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍。

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求,兩點(diǎn)間距離的最大值。

（3）若過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于、兩點(diǎn)，，則是否存在直線，使 取得最大值，若存在，求出此時(shí)的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2)14；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得關(guān)于x,y的等式，整理變形可得軌跡方程為，

（2）設(shè)，由對(duì)稱性可得點(diǎn)Q的軌跡方程為圓，則 ；

（3）由題意知的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，設(shè)，，，聯(lián)立直線與圓的方程可得，滿足題意時(shí)：.由點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式可得，其中，據(jù)此可得滿足題意時(shí)直線的斜率為，直線的方程為或.

試題解析：

（1）由已知，，

∴，即，

（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的軌跡方程為,

即：，

；

（3）由題意知的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，且，，

則，

聯(lián)立方程：，

∴，

又∵直線不經(jīng)過點(diǎn)，則.

∵點(diǎn)到直線的距離，，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值2，此時(shí)，，

∴直線的方程為或.