Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，點為棱的中點.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若點為棱上一點，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得．兩兩垂直，建立空間直角坐標系，根據可證得．（Ⅱ）根據點在棱上可設，再由，得，由此可得，從而可得．然后可求得平面的法向量為，又平面的一個法向量，可得，然后結合圖形可得所求．

詳解：（Ⅰ）證明：底面， 平面，面，

∴，，

又，

∴．兩兩垂直．

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.

則由題意得，

∴，

∴，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．

由點在棱上，

設，，

，

,

解得，

∴．

設平面的法向量為，則

由，得，

令，得．

由題意取平面的一個法向量．

∴，

由圖形知二面角是銳角，

所以二面角的余弦值為．